Clssical mechanics brilliant notes

Contents

1 Elementary Mechanics 1

1.1 Newtonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 The equation of motion for a single particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Angular Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Energy and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.1 Gravitational Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2 Gravitational Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Dynamics of Systems of Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.1 Newtonian Mechanical Concepts for Systems of Particles . . . . . . . . . . . 32

1.3.2 The Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.3 Collisions of Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Lagrangian and Hamiltonian Dynamics 63

2.1 The Lagrangian Approach to Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.1 Degrees of Freedom, Constraints, and Generalized Coordinates . . . . . . . . 65

2.1.2 Virtual Displacement, Virtual Work, and Generalized Forces . . . . . . . . . 71

2.1.3 d’Alembert’s Principle and the Generalized Equation of Motion . . . . . . . . 76

2.1.4 The Lagrangian and the Euler-Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.1.5 The Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.1.6 Cyclic Coordinates and Canonical Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.1.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1.8 More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1.9 Special Nonconservative Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.1.10 Symmetry Transformations, Conserved Quantities, Cyclic Coordinates and

Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.2 Variational Calculus and Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2.1 The Variational Calculus and the Euler Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2.2 The Principle of Least Action and the Euler-Lagrange Equation . . . . . . . 108

2.2.3 Imposing Constraints in Variational Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.2.4 Incorporating Nonholonomic Constraints in Variational Dynamics . . . . . . 119

2.3 Hamiltonian Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.3.1 Legendre Transformations and Hamilton’s Equations of Motion . . . . . . . . 123

2.3.2 Phase Space and Liouville’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.4 Topics in Theoretical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2.4.1 Canonical Transformations and Generating Functions . . . . . . . . . . . . . 138

2.4.2 Symplectic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.4.3 Poisson Brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.4.4 Action-Angle Variables and Adiabatic Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.4.5 The Hamilton-Jacobi Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3 Oscillations 173

3.1 The Simple Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.1.1 Equilibria and Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.1.2 Solving the Simple Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.1.3 The Damped Simple Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.1.4 The Driven Simple and Damped Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . 181

3.1.5 Behavior when Driven Near Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.2 Coupled Simple Harmonic Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3.2.1 The Coupled Pendulum Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3.2.2 General Method of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3.2.3 Examples and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.2.4 Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.3 Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.3.1 The Loaded String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.3.2 The Continuous String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.3.3 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

3.3.4 Phase Velocity, Group Velocity, and Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . 229

4 Central Force Motion and Scattering 233

4.1 The Generic Central Force Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.1.1 The Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.1.2 Formal Implications of the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4.2 The Special Case of Gravity – The Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.2.1 The Shape of Solutions of the Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.2.2 Time Dependence of the Kepler Problem Solutions . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.3 Scattering Cross Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4.3.1 Setting up the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4.3.2 The Generic Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4.3.3 1

r

Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5 Rotating Systems 257

5.1 The Mathematical Description of Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

5.1.1 Infinitesimal Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

5.1.2 Finite Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

5.1.3 Interpretation of Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

5.1.4 Scalars, Vectors, and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.5 Comments on Lie Algebras and Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

5.2 Dynamics in Rotating Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.2.1 Newton’s Second Law in Rotating Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . 269

5.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5.2.3 Lagrangian and Hamiltonian Dynamics in Rotating Coordinate Systems . . . 280

5.3 Rotational Dynamics of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.3.1 Basic Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.3.2 Torque-Free Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.3.3 Motion under the Influence of External Torques . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6 Special Relativity 323

6.1 Special Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6.1.1 The Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6.1.2 Transformation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6.1.3 Mathematical Description of Lorentz Transformations . . . . . . . . . . . . . 333

6.1.4 Physical Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

6.1.5 Lagrangian and Hamiltonian Dynamics in Relativity . . . . . . . . . . . . . . 346

A Mathematical Appendix 347

A.1 Notational Conventions for Mathematical Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

A.2 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

A.3 Vector and Tensor Definitions and Algebraic Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

A.4 Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

A.5 Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

A.6 Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

A.7 Legendre Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

B Summary of Physical Results 359

B.1 Elementary Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

B.2 Lagrangian and Hamiltonian Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

B.3 Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

B.4 Central Forces and Dynamics of Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

B.5 Rotating Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

B.6 Special Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

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